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Título:
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VECTORES
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Subtítulo
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ALGEBRA
VECTORIAL II
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Fecha de
realización:
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06/03/2020
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Grupo:
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BASICAS
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Tema:
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VECTORES
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Código:
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BAS-VEC-VEC-01-03
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INDICE
1 ÁLGEBRA VECTORIAL.
1.1 RESTA O SUSTRACCIÓN DE VECTORES.
1.2 MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
1.2.1 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
2 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.
2.1 PRODUCTO ESCALAR.
2.1.1 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.
2.2 PRODUCTO VECTORIAL.
2.2.1 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL.
2.3 PRODUCTOS TRIPLES.
2.3.1 PRODUCTOS MIXTOS.
2.3.2 PRODUCTOS TRIPLES VECTORIALES.
3 BIBLIOGRÁFICA
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Fecha
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Autor
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Observaciones
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06/03/2020
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Ing. Juan Carlos Miranda Rios
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Documento Base
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Rev.01
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Rev.02
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VECTORES
1 ÁLGEBRA VECTORIAL
1.1 RESTA O SUSTRACCIÓN DE VECTORES
La resta de dos vectores se logra sumando un vector al negativo del otro. El negativo de un vector se determina construyendo un vector igual en magnitud, pero de dirección opuesta, es decir:
El proceso gráfico de restar vectores se ilustra en la siguiente figura:
Analíticamente se tiene el siguiente procedimiento para resta de dos vectores mediante elementos trigonométricos:
Para el triangulo OMP, tenemos:
Para el triangulo PMN, tenemos:
Igualando MP2:
Pero:
Reemplazando en la penúltima ecuación y resolviendo:
Reordenando tenemos que el modulo de la resultante es igual a:
La pendiente se puede calcular mediante la función coseno, nuevamente para el triangulo PMN
Reemplazando valores obtenemos:
1.2 MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Sea un número escalar arbitrario designado por m y un vector definido por:
El producto de un escalar por un vector estará dado por:
La multiplicación de un vector con un escalar positivo arbitrario ,es decir un numero positivo, da por resultado otro vector que señala en la misma dirección, pero tiene una magnitud que es el producto de la magnitud del vector original y el valor del escalar. La multiplicación de un vector por un escalar negativo da por resultado un vector que señala en el sentido opuesto al del original, con una magnitud que es el producto de la magnitud del vector original y la magnitud del escalar.
1.2.1 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
2 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL
2.1 PRODUCTO ESCALAR
El Producto Escalar de dos vectores, se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de las magnitudes de los vectores multiplicado por el coseno del ángulo que los separa, se expresa mediante la siguiente ecuación:
Siendo que si el producto escalar es igual a 0, entonces ambos vectores son perpendiculares entre sí.
Escribiendo los vectores en función de sus componentes, tenemos:
Aplicando el concepto de producto escalar:
Pero de la definición de vectores unitarios:
Con lo cual obtenemos la siguiente expresión para el producto escalar:
2.1.1 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar goza de las siguientes propiedades:
2.2 PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial de dos vectores, representado por el símbolo "x", se define como aquel vector resultante perpendicular al plano determinado por ambos vectores en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B. Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano derecha como se muestra en la figura, con los dedos señalando en dirección de la rotación, el tornillo avanza en la dirección del pulgar (Regla de la mano derecha). La mayoría de los tornillos ordinarios son de rosca derecha.
Otra regla sencilla para establecer la dirección y sentido del producto vectorial es colocar el pulgar, el índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura anterior. Si el índice y el dedo mayor apuntan en las direcciones de A x B respectivamente, el pulgar apunta en la dirección del producto vectorial.
Matemáticamente se expresa por la siguiente ecuación:
Donde "u" es un vector unitario que tiene dirección perpendicular al plano formado por los vectores y sentido de acuerdo a la regla de la mano derecha.
Cuando el producto vectorial es igual a 0, significa que ambos vectores tienen la misma dirección (paralelos) y pueden ser o no ser colineales.
Escribiendo los vectores en función de sus componentes, tenemos:
Aplicando el concepto de producto vectorial:
Pero de la definición de vectores unitarios:
Con lo cual obtenemos la siguiente expresión para el producto vectorial:
Ordenando los términos:
La anterior ecuación puede escribirse de forma mas compacta mediante el uso del determinante de una matriz, es decir:
2.2.1 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
El producto escalar goza de las siguientes propiedades:
2.3 PRODUCTOS TRIPLES
2.3.1 PRODUCTOS MIXTOS
Un producto mixto es una combinación entre productos escalares y productos vectoriales, matemáticamente se expresa por:
Desde el punto de vista de sus componentes, en términos de sus componentes con notación mediante vectores unitarios, tendremos:
El producto triple mixto puede expresarse a través de la determinante de los vectores, a saber:
Nota.- El producto triple mixto, geométricamente es igual al volumen de un paralelepípedo formado por los tres vectores.
2.3.2 PRODUCTOS TRIPLES VECTORIALES
Un producto triple vectorial es una composición de dos productos vectoriales y tres vectores, expresados matemáticamente por:
Es necesario señalar que para este tipo de producto no se cumple la propiedad asociativa, es decir:
3 BIBLIOGRAFIA
- Física – Concepto y Aplicaciones – Paul E. Tippens – 7ma Edición
- Física General – Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano Garcia y Carlos Gracia Muñoz
- Física General – Frederick J. Beuche – Serie Schaum – 9na Edición
- Física I – Juan Antonio Cuéllar Carvajal – 2da Edición
- Física para Ingeniería y Ciencias – Volumen 1 – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall
- Física Volumen I – Mecánica – Marcelo Alonso, Edward J. Finn
- Mecánica Física – Luis Bru Villaseca – 4ta Edición
- Manual MR de Formulas para Ciencia y la Técnica – Juan Carlos Miranda Rios
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