APUNTES DE INGENIERIA MECANICA: PROPIEDADES GEOMETRICAS IV

Título:	PROPIEDADES GEOMETRICAS
Subtítulo	MOMENTOS PRINCIPALES
Fecha de realización:	04/06/2021
Grupo:	BASICAS
Tema:	PROPIEDADES AREAS PLANAS
Código:	BAS-PAP-PRG-01-04

INDICE
1 MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS.
2 MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES.
2.1 CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA.
2.1.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS.
2.2 EJEMPLOS.
2.2.1 EJEMPLO 1.
2.2.2 EJEMPLO 2.
3 BIBLIOGRAFIA

	Fecha	Autor	Observaciones
	04/06/2021	Ing. Juan Carlos Miranda Rios	Documento Base
Rev.01
Rev.02

PROPIEDADES GEOMETRICAS DE UN AREA

1 MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS

En el diseño mecánico o estructural, en ocasiones es necesario calcular los momentos y el producto de inercia para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados. Los momentos de inercia de un área plana dependen de la posición del origen y de la orientación de los ejes de referencia. Para un origen dado, los momentos de inercia y el producto de inercia varían conforme se giran los ejes con respecto a ese origen. La forma en que varían y las magnitudes de los valores máximo y mínimo se analizan a continuación.

Consideremos el área plana que se muestra en la figura 13 y supongamos que los ejes xy son un par de ejes de referencia ubicados de manera arbitraria. Los momentos y productos de inercia con respecto a dichos ejes son:

En donde x y y son las coordenadas de un elemento diferencial de área dA.

Los ejes x’y’ tienen el mismo origen que los ejes xy pero están girados un ángulo q en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto a esos ejes. Los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes x’y’ se denotan Ix’, Iy’ e Ix’y’, respectivamente. Para obtener estas cantidades necesitamos las coordenadas del elemento de área dA con respecto a los ejes x’y’. Estas coordenadas se pueden expresar en términos de las coordenadas x y y del ángulo theta por geometría como sigue:

Entonces el momento de inercia con respecto al eje x’ es:

Como theta es un valor constante, entonces:

Ahora introducimos las siguientes identidades trigonométricas:

Reemplazando identidades obtenemos:

Ordenando los términos:

De manera similar para el eje y’:

Con respecto al producto de inercia:

Volviendo a utilizar las identidades trigonométricas señaladas anteriormente:

Ordenando los términos:

Las ecuaciones (12) al (14) dan el momento de inercia y producto de inercia con respecto a los ejes girados en términos de los momentos y el producto de inercia para los ejes originales. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de transformación para momentos y productos de inercia.

Una ecuación útil relacionada con los momentos de inercia se obtiene sumando Ix’ y Iy’ (ecuaciones 12 y 13). El resultado es:

Esta ecuación indica que la suma de los momentos de inercia con respecto a un par de ejes permanece constante conforme se giran los ejes con respecto al origen. En otras palabras, el momento polar de inercia del elemento es invariante aun cuando los momentos de inercia hayan sido rotados.

2 MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES

Las ecuaciones de transformación para momentos y productos de inercia (ecuaciones 12, 13 y 14) muestran como varían los momentos y productos de inercia conforme varia el ángulo de rotación theta. En consecuencia es de interés especial conocer los valores máximos y mínimos del momento de inercia con respecto al ángulo. Estos valores se conocen como momentos de inercia principales y los ejes correspondientes se conocen como ejes principales.

En general, hay un conjunto de ejes principales para cualquier origen O elegido; sin embargo, en la mecánica de materiales el centroide del área es la ubicación más importante para O.

Para determinar los valores del ángulo theta que hacen al momento de inercia Ix’ un máximo o un mínimo, derivamos la ecuación 12 con respecto a theta e igualamos el resultado a cero. Así:

Por lo tanto, en Theta = Theta P (ángulo de inclinación de los ejes principales):

En donde Theta P denota el ángulo que define un eje principal. Este mismo resultado se obtiene si efectuamos la derivada de Iy’ (ecuación 13)

La ecuación (16) produce dos valores del ángulo 2 Theta P en el intervalo de 0 a 360°, estos valores difieren en 180°. Los valores correspondientes de Theta P difieren en 90° y definen los dos ejes principales perpendiculares. Uno de estos ejes corresponde al momento de inercia máximo y el otro corresponde al momento de inercia mínimo.

Ahora examinemos la variación en el producto de inercia Ix’y’ conforme q varia (consulte la ecuación 14). Si Theta = 0, obtenemos Ix’y’ = Ixy, como se esperaba. Si q = 90°, obtenemos Ix’y’ = -Ixy. Por tanto, durante una rotación de 90° el producto de inercia cambia de signo, lo cual significa que para una orientación intermedia de los ejes, el producto de inercia debe ser igual a cero. Para determinar esta orientación, igualamos a cero Ix’y’ (ecuación 13):

Esta ecuación es igual que la ecuación (16), que define el ángulo Theta P con respecto a los ejes principales. Por tanto, concluimos que el producto de inercia es cero para los ejes principales.

Ahora determinemos los momentos de inercia principales suponiendo que Ix, Iy e Ixy se conocen. Un método es determinar los dos valores de Theta P (que difieren en 90°) con la ecuación (16) y luego sustituir estos valores en la ecuación (12) para Ix’. Los dos valores resultantes son los momentos de inercia principales, denotados con I1 e I2. La ventaja de este método es que sabemos cual de los dos ángulos principales Theta P corresponde a cada momento de inercia principal.

También es posible obtener formulas generales para los momentos de inercia principales. Observamos en la ecuación (16) y en la figura 14 (que es una representación geométrica de la ecuación 16).

Se determina que:

Donde:

Ahora sustituimos las expresiones para cos 2 Theta P y sen 2 Theta P en la ecuación (12) para Ix’ y obtenemos el mayor algebraicamente de los dos momentos de inercia principales, denotado con el símbolo I1:

De forma similar con la ecuación (13), obtenemos el menor algebraicamente de los dos momentos de inercia principales, denotado con el símbolo I2:

Por otra parte, si las relaciones trigonométricas anteriores cos 2 Theta P y sen 2 Theta P se sustituyen en la ecuación 14, se verá que Ix’y’ = 0; es decir, el producto de inercia con respecto a los ejes principales es cero.

2.1 CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Las ecuaciones 11, 12 y 13 tienen una solución semigráfica cuyo uso es conveniente y en general es fácil de recordar. Al elevar al cuadrado la 12va y la 14va ecuación y sumarlas, se comprueba que:

En cualquier problema dado, Ix’ e Ix’y’ son variables, e Ix, Iy e Ixy son constantes conocidas. Por lo tanto, la ecuación anterior puede escribirse en forma compacta como:

Cuando se grafica esta ecuación, la grafica resultante es un círculo de radio:

Y que tiene su centro ubicado en el punto (a, 0), donde:

El círculo construido de esta manera se llama círculo de Mohr. Su aplicación es similar al que se usa para la transformación del esfuerzo y la deformación desarrollados en el área de Resistencia de Materiales.

2.1.1 PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

Aquí, el propósito principal del uso del círculo de Mohr es tener un medio conveniente para transformar Ix, Iy e Ixy en los momentos de inercia principales para el área. El siguiente procedimiento proporciona un método para hacer esto.

Calculo de Ix, Iy e Ixy.

Defina el origen y la dirección de los ejes coordenados (x,y) de la sección. Se recomienda que dicho origen se halle ubicado en el centroide del elemento y el sistema coordenado sea similar a aquellos que vienen definidos en las tablas respectivas de secciones equivalentes. En función a lo anteriormente señalado determine Ix, Iy e Ixy.

Calculo de R y a.

En función a las ecuaciones (17) y (18), calcule los valores de R y a respectivamente.

Construcción del círculo.

Establezca un sistema de coordenadas rectangulares de modo que el eje horizontal represente los momentos de inercia Ix Iy , y el eje vertical represente el producto de inercia Ixy.

Determine el centro del círculo que se encuentra ubicado sobre el eje horizontal y tiene coordenadas (a,0)

Tomando como centro el punto (a,0), trace un circulo que tenga como radio el valor de R. Aquellos puntos donde el circulo intersecta con el eje de las I representa los momentos principales de la sección I1 e I2.

Orientación de los ejes principales.

Para encontrar la orientación del eje principal mayor, determine mediante trigonometría el valor del ángulo 2 Theta P o utilizando la ecuación (16). El signo del resultado indicara si el eje se encuentra por encima o por debajo del eje de las I.

2.2 EJEMPLOS

2.2.1 EJEMPLO 1

Determine el momento de inercia de una sección rectangular con respecto a un eje que conecta ambas aristas en diagonal y por ende pasa por su centroide. Los momentos y producto inercia de la sección con referencia a dicho centroide y un sistema coordenado rectangular son:

Solución.

Tal como se muestra en la figura, lo que se pide calcular es el momento de inercia de la sección cuadrada con respecto al eje m-m.

La rotación del momento de inercia con respecto al eje x estará dado por:

Reemplazando los momentos y producto respecto a su centroide.

De la figura se puede determinar que:

Entonces:

2.2.2 EJEMPLO 2

Aplicando el procedimiento para obtener el círculo de Mohr, determine los momentos principales de la siguiente sección, sabiendo que: b = 10 cm; h = 12 cm