APUNTES DE INGENIERIA MECANICA: VECTORES II

Título:	VECTORES
Subtítulo	ALGEBRA VECTORIAL I
Fecha de realización:	06/03/2020
Grupo:	BASICAS
Tema:	VECTORES
Código:	BAS-VEC-VEC-01-02

INDICE

1 ALGEBRA VECTORIAL
1.1 SUMA O ADICION DE VECTORES.
1.1.1 METODOS GRAFICOS.
1.1.2 METODOS ANALITICOS.
1.1.3 NOTACION DE VECTORES UNITARIOS.
1.1.4 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES.
2 BIBLIOGRAFIA

	Fecha	Autor	Observaciones
	06/03/2020	Ing. Juan Carlos Miranda Rios	Documento Base
Rev.01
Rev.02

VECTORES

1 ALGEBRA VECTORIAL

Una vez reconocido las características y propiedades de los vectores, vamos a estudiar operaciones vectoriales referidas a vectores libres. Las conclusiones que se obtendrán son también aplicables a vectores deslizantes cuyas rectas soporte se cortan y a vectores concurrentes. En los restantes casos, antes de generalizar las conclusiones, deberemos analizar detenidamente la situación física que se presenta. A fin de facilitar el análisis y compresión de los procedimientos señalados a continuación, se trabajara primeramente en dos dimensiones, es decir, sobre un plano, posteriormente se ampliara el desarrollo a tres dimensiones, análisis espacial.

1.1 SUMA O ADICIÓN DE VECTORES

La suma de vectores no puede efectuarse como la suma tradicional de cantidades escalares, ya que además de su magnitud deben considerarse también la dirección y sentido de cada uno de ellos. La adición de vectores se puede realizar mediante métodos gráficos y analíticos (aritméticos o algebraicos) utilizando, según convenga, propiedades geométricas o trigonométricas. A continuación se explicarán los diferentes métodos que se utilizan para efectuar una adición o suma de vectores.

1.1.1 MÉTODOS GRÁFICOS

En esta sección se estudiaran dos métodos gráficos muy comunes para hallar la suma geométrica de vectores. El método del polígono es el más útil, ya que puede aplicarse fácilmente a mas de dos vectores. El método del paralelogramo es conveniente para sumar solamente dos vectores a la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. La dirección lo define un ángulo con respecto a un eje de referencia y el sentido se marca colocando una punta de flecha en el extremo del segmento de dicha recta.

1.1.1.1 MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Sean los vectores A y B, la resultante de la suma de ambos vectores que actúan en cualquier ángulo, se puede representar por la diagonal de un paralelogramo formado por dichos vectores que parten de un mismo origen. Los dos vectores se dibujan como los lados de un paralelogramo y la resultante es su diagonal, ver figura 9. La dirección de la resultante es alejándose del origen de los vectores.

1.1.1.2 MÉTODO DEL POLÍGONO

El método del polígono consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro conservando sus magnitudes, direcciones y sentido, luego se une el origen del primero con la punta del ultimo, el vector así trazado es el vector resultante. El siguiente procedimiento permite utilizar el método para un número indeterminado de vectores:

Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.
Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y dirección del primer vector.
Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta de la flecha del primer vector.
Continúe el proceso de unir el origen de cada vector con las puntas hasta que la magnitud y la dirección de todos los vectores queden bien representadas.
Dibuje el vector resultante con el origen (punto de partida) y la punta de flecha unida a la punta del último vector.
Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y la dirección del vector resultante.

1.1.2 MÉTODOS ANALÍTICOS

Los métodos analíticos pueden mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante de un conjunto de vectores. En la mayoría de los casos, es útil utilizar los ejes x, y y z cuando se trabaja con vectores en forma analítica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de los ejes de referencia. Las componentes del vector pueden verse como efectos a lo largo de los ejes x, y y z.

1.1.2.1 SUMA DE DOS VECTORES MEDIANTE MÉTODOS TRIGONOMÉTRICOS

Sean los vectores A y B, los cuales son coplanares, entonces, conocidos los módulos de A y B, y el ángulo que existe entre ambos vectores, el modulo de la resultante puede ser determinada mediante el siguiente procedimiento:

Partiendo del teorema de Pitágoras:

Pero

Reemplazando y resolviendo:

Pero:

Entonces:

El modulo de la resultante será igual a:

La dirección de la resultante esta dado por el ángulo que forma con uno de sus vectores, tomando como referencia la figura anterior. Aplicando la función seno al triangulo OTQ:

De similar manera, utilizando la función seno al triangulo STQ:

Reemplazando las expresiones, obtenemos la siguiente ecuación para el cálculo de la dirección del vector resultante:

También se puede calcular mediante la función tangente, nuevamente para el triangulo OTQ

Para el triangulo rectángulo STQ:

Reemplazando valores obtenemos:

1.1.2.2 METODO DE LAS COMPONENTES

Los componentes de un vector son todos aquellos vectores que sumados o restados dan como resultado el vector de referencia. Debido a esta definición un vector puede tener infinitos componentes, pero si trabajamos en un sistema de coordenadas rectangular bidimensional, las componentes se pueden resumir a dos.

Con respecto a este ultimo, para la resolución de un vector se utilizan las proyecciones a lo largo de los ejes del sistema de coordenado cartesiano. Estas proyecciones se denominan componentes del vector y se determinan bajo el siguiente procedimiento: Consideremos un vector que se localiza en un sistema de coordenadas rectangulares y que forma un ángulo con respecto al eje x positivo, como se ilustra en la figura 12.

La proyección del vector A lo largo del eje x, denotada por se llama componente x de vector y su proyección a lo largo del eje y, denotado por , se llama componente y de vector . Las componentes y forman entre si un ángulo de 90º y en conjunto con el vector generan un triangulo rectángulo. En todos los casos, el modulo del vector principal esta dado por el valor de sus componentes según la siguiente formula:

Y las componentes tienen los siguientes valores:

El signo de los componentes rectangulares lo determina el cuadrante en donde se localiza el vector . Observe la siguiente figura:

Para un espacio tridimensional, tomando como referencia el sistema cartesiano x, y, z, las componentes del vector estarán definidas en función al valor de los ángulos que posee el vector con respecto a sus ejes coordenados (ver figura 14), como se puede apreciar el tratamiento es algo diferente a cuando trabajamos en el plano.

En consecuencia, las componentes tendrán los siguientes valores:

A los cosenos de los ángulos se les llama COSENOS DIRECTORES. El módulo de se calcula mediante:

Resolviendo la ecuación anterior en función al valor de sus cosenos directores, obtendremos la siguiente relación:

Cuando se tienen varios vectores, no existe una formula sencilla para expresar la resultante, es mejor utilizar el método de componentes para la resolución del problema. Para el caso, tomemos los siguientes vectores en términos de sus componentes, respecto a un sistema coordenado cartesiano:

Los componentes del vector resultante serán igual a la suma de los componentes individuales de cada vector con respecto a un eje coordenado, es decir:

Donde:

El modulo de la resultante estará dada por:

Y la dirección estará dada por:

Si el análisis se lo viene realizando en el plano, lasa ecuaciones anteriores se simplifican a:

1.1.3 NOTACION DE VECTORES UNITARIOS

Hay un conjunto de vectores especiales que facilitan mucho las matemáticas asociadas con los vectores. Los llamados vectores unitarios, son vectores de magnitud igual a uno (1) y se hallan dirigidos a lo largo de los ejes principales de coordenadas del sistema de coordenadas.

En dos dimensiones, estos vectores señalan hacia el sentido positivo de x y el sentido positivo de y. En tres dimensiones, un tercer vector unitario señala hacia el sentido positivo de z. Con objeto de distinguir estos como vectores unitarios, les damos los símbolos . Su representación de componente es:

Cual es la ventaja de los vectores unitarios? Podemos escribir cualquier vector como una suma de estos vectores unitarios en vez de usar la notación de componentes; cada vector unitario se multiplica por el correspondiente componente cartesiano del vector:

Entonces, tomando nuevamente los vectores en términos de sus componentes con notación mediante vectores unitarios, tendremos:

Entonces:

Donde:

En un sistema bidimensional o en el plano:

1.1.4 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

2 BIBLIOGRAFIA

Física – Concepto y Aplicaciones – Paul E. Tippens – 7ma Edición
Física General – Santiago Burbano de Ercilla, Enrique Burbano Garcia y Carlos Gracia Muñoz
Física General – Frederick J. Beuche – Serie Schaum – 9na Edición
Física I – Juan Antonio Cuéllar Carvajal – 2da Edición
Física para Ingeniería y Ciencias – Volumen 1 – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall
Física Volumen I – Mecanica – Marcelo Alonso, Edward J. Finn
Mecánica Física – Luis Bru Villaseca – 4ta Edición
Manual MR de Formulas para Ciencia y la Técnica – Juan Carlos Miranda Rios