APUNTES DE INGENIERIA MECANICA: PROPIEDADES GEOMETRICAS II

Título:	PROPIEDADES GEOMETRICAS
Subtítulo	MOMENTO DE INERCIA
Fecha de realización:	29/05/2021
Grupo:	BASICAS
Tema:	PROPIEDADES AREAS PLANAS
Código:	BAS-PAP-PRG-01-02

INDICE
1 MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA.
1.1 DEFINICION.
1.2 RADIO DE GIRO.
1.3 TEOREMA DE LOS EJES PARARELOS PARA UN AREA.
1.4 MOMENTO POLARES DE INERCIA.
1.5 AREAS COMPUESTAS.
1.6 EJEMPLO.
1.6.1 EJEMPLO 1.
1.6.2 EJEMPLO 2.
1.6.3 EJEMPLO 3.
2 BIBLIOGRAFIA

	Fecha	Autor	Observaciones
	29/05/2021	Ing. Juan Carlos Miranda Rios	Documento Base
Rev.01
Rev.02

PROPIEDADES GEOMETRICAS DE UN AREA

1 MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA

1.1 DEFINICION

A menudo, el momento de inercia de un área aparece en las fórmulas que se usan en la mecánica de materiales. Los momentos de inercia de un área plana (figura 5) con respecto a los ejes x y y, respectivamente, están definidos por las integrales:

En donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. Dado que el elemento dA se multiplica por el cuadrado de la distancia desde el eje de referencia, los momentos de inercia también se denominan segundos momentos de inercia. Además, vemos que los momentos de inercia de las aéreas (a diferencia de los momentos estáticos) siempre son cantidades positivas.

Estas integrales no tienen sentido físico, pero se llaman así porque tienen una formulación semejante a la del momento de inercia de una masa, que es una propiedad dinámica de la materia.

1.2 RADIO DE GIRO

En ocasiones en mecánica se encuentra un término conocido como radio de giro. El radio de giro de un área plana se define como la raíz cuadrada del momento de inercia del área dividida entre la propia área; por tanto:

En donde rx y ry denotan los radios de giro con respecto a los ejes x y y, respectivamente. Como el momento de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y el área tiene unidades de longitud a la segunda potencia, el radio de giro tiene unidades de longitud.

Si bien el radio de giro de un área no tiene un significado físico obvio, lo podemos considerar como la distancia (desde el eje de referencia) a la que toda el área podría concentrarse y aun tener el mismo momento de inercia que el área original.

1.3 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN AREA

En esta sección deduciremos un teorema muy útil relativo a momentos de inercia de áreas planas, que se conoce como teorema de los ejes paralelos y que proporciona la relación entre el momento de inercia con respecto al eje centroidal y el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo.

Para deducir el teorema, consideramos en principio un área con forma arbitraria el cual posee su centroide en el punto C (figura 6). También, consideremos dos conjuntos de ejes coordenados: Uno los ejes (x’, y’) con origen en el centroide y un segundo eje paralelo (x , y) con origen en cualquier punto O. Las distancias entre los dos conjuntos de ejes paralelos se denotan dX y dY. Además, identificamos un elemento diferencial de área dA con coordenadas x’ y y’ con respecto a los ejes centroidales. Con base en la definición de momento de inercia, podemos escribir la siguiente ecuación para el momento de inercia Ix con respecto al eje x:

La primera integral en el lado derecho es el momento de inercia Ix’ con respecto al eje x’. La segunda integral es el momento estático del área con respecto al eje x’ (esta integral es igual a cero debido a que el eje x’ pasa por el centroide C del área) . La tercera integral es la propia área A.

Por tanto, la ecuación anterior se reduce a:

Operando de la misma manera para el momento de inercia con respecto al eje y, obtenemos:

las ecuaciones (5a) y (5b) representan el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia y podemos enunciarlo de la siguiente manera:

El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

Del teorema de los ejes paralelos observamos que el momento de inercia aumenta cuando el eje se mueve paralelamente a si mismo alejándose del centroide. Por tanto, el momento de inercia con respecto a un eje centroidal es el momento de inercia menor de un área (para una dirección dada del eje).

Al utilizar el teorema de los ejes paralelos es esencial recordar que uno de los dos ejes paralelos debe ser un eje centroidal. Si es necesario encontrar el momento de inercia con respecto a un tercer eje no centroidal -2- (figura 7) cuando se conoce el momento de inercia con respecto a otro eje no centroidal y paralelo -1-, debemos aplicar el teorema de los ejes paralelos dos veces.

Primero, determinamos el momento de inercia centroidal Ix’ a partir del momento de inercia conocido I1:

Luego encontramos el momento de inercia I2 a partir del momento de inercia centroidal:

1.4 MOMENTO POLAR DE INERCIA

Los momentos de inercia analizados en la sección anterior se definen con respecto a ejes que se encuentran en el plano de la propia área, para nuestro caso los ejes x y y. Ahora consideraremos un eje perpendicular al plano del área y que interseque el plano en el origen O. El momento de inercia con respecto a este eje perpendicular se denomina momento polar de inercia y se denota con el símbolo IP. El momento polar de inercia con respecto a un eje en el punto O perpendicular al plano del área se define por la integral:

En donde ρ es la distancia desde el punto O hasta el elemento diferencial de área dA (figura 8).

De la figura se puede determinar, mediante el Teorema de Pitágoras que:

Donde x y y son las coordenadas rectangulares del elemento dA, en consecuencia obtenemos la siguiente expresión para IP:

Así, obtenemos la relación importante:

Esta ecuación muestra que el momento polar de inercia con respecto a un eje perpendicular al plano de la figura en cualquier punto O es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos ejes perpendiculares cualesquiera x y y que pasen por ese mismo punto y que se encuentren en el plano de la figura. Asimismo, se observa que Ix, Iy y IP siempre serán positivos, ya que incluyen el producto de la distancia al cuadrado y el área. Además, las unidades para el momento de inercia implican longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo m4, mm4 o pie4, pulg4.

Por conveniencia, es usual referirnos a IP simplemente como el momento polar de inercia con respecto al punto O, sin mencionar que el eje es perpendicular al plano de la figura. Además, para distinguirlos de los momentos polares de inercia, en ocasiones nos referimos a Ix e Iy como momentos rectangulares de inercia.

Los momentos polares de inercia con respecto a varios puntos en el plano de un área están relacionados por el teorema de los ejes paralelos para momentos polares de inercia. Podemos deducir este teorema refiriéndonos de nuevo a la figura 9.

Denotemos los momentos polares de inercia con respecto al origen O y al centroide C con (IP)O e (IP)C, respectivamente. Entonces, al emplear la ecuación (8), podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Ahora refiriéndonos al teorema de los ejes paralelos deducidos con anterioridad para momentos rectangulares de inercia (ecuaciones 5a y 5b). Al sumar estas dos ecuaciones, obtenemos:

Observado, de acuerdo con la figura 9 que:

Entonces, reemplazando términos:

Esta ecuación representa el teorema de los ejes paralelos para momentos polares de inercia y se define así:

El momento polar de inercia de un área con respecto a cualquier punto O en su plano es igual al momento polar de inercia con respecto al centroide C más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los puntos O y C.

Un círculo es un caso especial en que el momento polar de inercia se puede determinar por integración. Sin embargo, la mayor parte de las formas encontradas en el trabajo de ingeniería no se prestan para esta técnica, por lo que es usual que los momentos polares de inercia se obtengan sumando los momentos rectangulares de inercia para dos ejes perpendiculares

1.5 AREAS COMPUESTAS

Muchas áreas transversales consisten en una serie de figuras simples conectadas, tales como rectángulos, triángulos y semicírculos. Con el fin de determinar adecuadamente el momento de inercia de esa área respecto a un eje determinado, primero es necesario dividir el área en sus partes componentes e indicar la distancia perpendicular del eje al eje centroidal paralelo para cada parte.

El momento de inercia de cada parte se determina respecto al eje centroidal. Si este eje no coincide con el eje especificado, debe usarse el teorema de los ejes paralelos a fin de determinar el momento de inercia de la parte respecto al eje especificado.

El momento de inercia de toda el área alrededor de este eje se determina mediante la suma de los resultados de sus partes componentes. En particular, si una parte compuesta tiene un “orificio”, el momento de inercia para el área compuesta se encuentra al “restar” el momento de inercia para el orificio del momento de inercia de toda el área incluyendo al orificio.

1.6 EJEMPLO

1.6.1 EJEMPLO 1

Determine el momento de inercia de la sección mostrada en la figura con respecto a los ejes coordenados señalados.

Solución.

Para la solución de este problema, resolveremos el mismo a partir de dos perspectivas. En un caso tomaremos un elemento deferencial de forma vertical, como la figura izquierda y para el otro caso lo realizaremos de manera horizontal, como la figura derecha.

El momento de inercia con respecto al eje x, será igual a:

El elemento diferencial de área estará dado por (figura derecha):

Entonces:

El momento de inercia con respecto al eje y, será igual a:

El elemento diferencial de área estará dado por (figura izquierda):

Entonces:

1.6.2 EJEMPLO 2

Determine el momento de inercia de la sección definida por la ecuación de segundo grado señalado, con respecto a los ejes coordenados mostrados.

Solución.

Para la solución de este problema, tomaremos un elemento diferencial como se muestra en la imagen siguiente:

La sección del elemento diferencial estará dado por:

El momento de inercia con respecto al eje x, será igual a:

Pero para resolver este problema, es necesario recurrir a los resultados obtenidos en el problema anterior. El momento de inercia con respecto al eje x para una sección rectangular esta dado por:

Comparando esta ecuación con el elemento diferencial de área que hemos definido el cual es semejante también a un rectángulo, donde a = dx y b = y, tendremos:

Por definición del problema.

Reemplazando.

De la gráfica, para x = a; y = b, con lo cual:

Entonces:

El momento de inercia con respecto al eje y, será igual a:

Resolviendo.

Reemplazando el valor de k.

1.6.3 EJEMPLO 3

A partir de un par de secciones C 8 x 13.75 y unas pletinas de 6” x ¼”, se construirá una sección cajón que tendrá las características mostradas en la figura. Determine el momento de inercia con respecto al centroide de la sección armada respecto a ambos ejes.

Solución

Como primer paso es necesario determinar las propiedades de los perfiles C. La tabla siguiente indica las mencionadas propiedades para el perfil indicado.

Inercia con respecto al eje x = 36.1 pulg4

Inercia con respecto al eje y = 1.52 pulg 4

Ubicación del centroide con respecto al eje y = 0.554 pulg.

Ubicación del centroide con respecto al eje x = 8/2 = 4.0 pulg.

Peralte = 8 pulg.

Área = 4. 04 pulg.2

Con respecto a las platinas, las características de la misma serán las siguientes:

Los centroides de cada elemento se hallan ubicados tal como se muestra en la siguiente figura:

Como se podrá apreciar, el elemento armado es simétrico con respecto a ambos ejes, por lo cual el centroide del mismo se halla ubicado justo en el punto central de la sección, es decir, donde se interceptan ambos ejes de simetría.

El momento de inercia con respecto al eje horizontal (x) estará dado por: